《大学物理AⅡ》期中试卷 (精选02)

可能用到的物理常数：

真空介电常量 $\mathfrak { E } _ { 0 } = 8 . 8 5 \times 1 0 ^ { - 1 2 } \mathbf { C } ^ { 2 } { \cdot } \mathbf { N } ^ { - 1 } { \cdot } \mathbf { m } ^ { - 2 }$

真空磁导率 $\scriptstyle \mathsf { \mu } _ { 0 } = 4 \times \ 1 0 ^ { - 7 } \mathbf { N } \cdot \mathbf { A } ^ { - 2 }$ ，

普朗克常量 $h { = } 6 . 6 3 { \times } 1 0 ^ { - 3 4 } \mathrm { J } { \cdot } ;$ s，

基本电荷 $e = 1 . 6 0 { \times } 1 0 ^ { - 1 9 } \mathrm { C }$

电子质量 $m _ { \mathrm { e } } { = } 9 . 1 1 { \times } 1 0 ^ { - 3 1 } \mathrm { k g }$ ，

质子质量 $m _ { \mathrm { p } } { = } 1 . 6 7 { \times } 1 0 ^ { - 2 7 } { \mathrm { k g } }$

一、填空题（共33分，每题 3分，将答案写在试卷指定的横线“ _”上）

1.（3 分）靠近地面和离地面为 $$h$$ 高处的电场场强大小分别为 $E _ { 1 }$ 和 $E _ { 2 }$ ，方向都垂直于地面向下。则从地面到 $$h$$ 高度的大气中电荷的平均体密度为 _；如果地球上的电荷全部均匀分布在表面，则地面上的电荷面密度为。

查看答案与解析

答案： $\rho = \varepsilon_0(E_1 - E_2)/h$ ； $\sigma = -\varepsilon_0 E_1$

解析：

高斯定理： $E_1 S - E_2 S = \rho Sh/\varepsilon_0$ → $\rho = \varepsilon_0(E_1 - E_2)/h$ 。

地面附近 $E_1 = \sigma/\varepsilon_0$ → $\sigma = \varepsilon_0 E_1$ （方向向下， $\sigma$ 为负）。

难度: ⭐⭐
考点: #高斯定理 #电荷分布

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📖 相关公式与知识点:

高斯定理： $\oint \vec{E} \cdot d\vec{S} = q_{\text{内}}/\varepsilon_0$
取底面积为 $$S$$ 、高为 $$h$$ 的圆柱形高斯面
$E_1 S - E_2 S = \rho Sh/\varepsilon_0$ → $\rho = \varepsilon_0(E_1 - E_2)/h$
地面附近： $E_1 = -\sigma/\varepsilon_0$ （ $\sigma$ 为负，因场强向下）

思路分析

取地面到 $$h$$ 高度的圆柱形高斯面
上下底面通量差 = 内部电荷/ $\varepsilon_0$
地面电荷面密度由边界条件确定

易错点

场强向下说明地面带负电
$\sigma = -\varepsilon_0 E_1$ ，注意负号

🔄 举一反三

若 $$E_1 = E_2$$ ，大气中电荷体密度？
查看练习答案与解析
答案： $\rho = 0$
解析：
- 第一步： $$E_1 = E_2$$ → 通量差为零
- 第二步：高斯面内无净电荷
- 第三步： $\rho = 0$
若大气中 $\rho > 0$ ， $$E_1$$ 和 $$E_2$$ 的关系？
查看练习答案与解析
答案： $$E_1 > E_2$$
解析： $\rho > 0$ → $$E_1 - E_2 > 0$$ → $$E_1 > E_2$$ 。

2.（3分）用你自己的语言对重力势能、弹性势能和静电势能作一个统一的势能定义，使它对上述三种情况都适用，定义为：

查看答案与解析

答案：势能是系统内保守力做功能力的量度，等于系统从当前状态变化到零势能状态过程中保守力所做的功。

解析：

统一表述： $W_{\text{保内}} = -\Delta E_p$ ，即保守内力做功等于势能增量的负值。

难度: ⭐
考点: #势能 #保守力

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📖 相关公式与知识点:

保守力做功： $W_{\text{保}} = -\Delta E_p$
重力势能： $$E_p = mgh$$ （保守力为重力）
弹性势能： $$E_p = kx^2/2$$ （保守力为弹力）
静电势能： $$E_p = qU$$ （保守力为电场力）

思路分析

势能是保守力做功能力的量度
等于从当前状态到零势能状态保守力做的功
三种势能本质相同，只是保守力不同

易错点

只有保守力才对应势能
保守力做正功，势能减少

🔄 举一反三

摩擦力对应的势能存在吗？
查看练习答案与解析
答案：不存在（摩擦力非保守力）
解析：
- 第一步：摩擦力做功与路径有关
- 第二步：不满足保守力条件
- 第三步：不能定义势能
保守力的判别条件？
查看练习答案与解析
答案：沿闭合路径做功为零
解析： $\oint \vec{F} \cdot d\vec{l} = 0$ 是保守力的充要条件。

3.（3 分）如图所示，半径为 $$R$$ 的均匀带电球面，带电量为 $$q$$ ，为 $$L$$ 、电荷线密度为λ的均匀带电细线，球心 O 到细线近端的距离为 $$2 R$$ ，设两带电体互相不影响，则球面和细线组成的系统电势能为。（设无穷远电势为零）

沿矢径方向上有一长度

查看答案与解析

答案： $W = \frac{q\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\ln\frac{2R+L}{2R}$

解析：

球面在 $$r$$ 处电势 $U = q/(4\pi\varepsilon_0 r)$ （ $$r > R$$ ）。

$dW = U \cdot \lambda dr$ ， $W = \int_{2R}^{2R+L} \frac{q\lambda}{4\pi\varepsilon_0 r} dr = \frac{q\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\ln\frac{2R+L}{2R}$ 。

难度: ⭐⭐
考点: #电势能 #带电球面

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📖 相关公式与知识点:

电势能： $W = \int U\,dq$
球面外电势： $U = q/(4\pi\varepsilon_0 r)$
细线微元： $dq = \lambda\,dr$
积分限：从 $$2R$$ 到 $$2R+L$$

思路分析

球面在 $$r$$ 处的电势 $U = q/(4\pi\varepsilon_0 r)$
微元电势能 $dW = U\lambda\,dr$
从 $$2R$$ 到 $$2R+L$$ 积分

易错点

球面外电势公式与点电荷相同
积分结果含 $\ln$ ，不是简单的差

🔄 举一反三

细线在球面内部，电势能？
查看练习答案与解析
答案： $W = q\lambda L/(4\pi\varepsilon_0 R)$ （球面内部 $$U$$ 恒定）
解析：
- 第一步：球面内部 $U = q/(4\pi\varepsilon_0 R)$ （恒定）
- 第二步： $W = U \cdot \lambda L = q\lambda L/(4\pi\varepsilon_0 R)$
- 第三步：无需积分
若细线很长（ $L \to \infty$ ），电势能？
查看练习答案与解析
答案： $W \to \infty$
解析： $W = \frac{q\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\ln\frac{2R+L}{2R}$ ， $L \to \infty$ 时 $\ln \to \infty$ 。

4．（3分）两个相同的空气电容器，电容都是900uF，分别充

电到900V电压后切断电源，若把一个电容器浸入介电常数为2.0的煤油中，再将两电容并联。则并联过程中损失的能量为 _J；损失的能量转化为。

查看答案与解析

答案： $243\ \mathrm{J}$ ；热能（焦耳热）

解析：

初始总能量： $W_1 = 2 \times \frac{1}{2}CU^2 = 900 \times 10^{-6} \times 900^2 = 729\ \mathrm{J}$ 。

浸入煤油（ $\varepsilon_r = 2.0$ ）后： $C' = \varepsilon_r C = 1800\ \mu\mathrm{F}$ ，电荷不变 $Q_1 = CU = 0.81\ \mathrm{C}$ 。

并联后：总电容 $C_{\text{总}} = C + C' = 2700\ \mu\mathrm{F}$ ，总电荷守恒 $Q_{\text{总}} = 2CU = 1.62\ \mathrm{C}$ 。

并联后电压： $U' = Q_{\text{总}}/C_{\text{总}} = 1.62/(2700 \times 10^{-6}) = 600\ \mathrm{V}$ 。

并联后总能量： $W_2 = \frac{1}{2}C_{\text{总}}U'^2 = \frac{1}{2} \times 2700 \times 10^{-6} \times 600^2 = 486\ \mathrm{J}$ 。

损失能量： $\Delta W = W_1 - W_2 = 729 - 486 = 243\ \mathrm{J}$ 。

难度: ⭐⭐⭐
考点: #电容器 #能量损失

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📖 相关公式与知识点:

电容器储能： $$W = CU^2/2 = Q^2/(2C)$$
介质使电容增大： $C' = \varepsilon_r C$
并联：总电容相加，总电荷守恒
并联后电压： $U' = Q_{\text{总}}/C_{\text{总}}$

思路分析

初始能量： $W_1 = 2 \times CU^2/2$
浸入煤油后一个电容变为 $$2C$$
并联后总电容 $$3C$$ ，总电荷 $$2CU$$
新电压 $$U' = 2CU/(3C) = 2U/3$$

易错点

并联过程中电荷守恒，能量不守恒
损失的能量转化为焦耳热

🔄 举一反三

并联前后电荷守恒吗？
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答案：守恒（总电荷不变）
解析：
- 第一步：断开电源后无电荷流入
- 第二步： $Q_{\text{总}} = 2CU$
- 第三步：并联后 $Q'_{\text{总}} = C_{\text{总}} U' = 2CU$
若两个电容器都浸入煤油再并联，能量损失？
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答案： $$0$$ （无能量损失）
解析：两电容相同，并联后电压不变， $W_2 = 2C' U^2/2 = 2 \times 2C \times U^2/2 = 2CU^2 = W_1$ 。

5.（3分）一个带电量为 $$q { > } 0$$ 的粒子以速度 $\nu$ 平行于一均匀带电的无限长直导线运动，该导线的电荷线密度为 $\lambda { > } 0$ ，并载有传导电流 I，如图所示。则粒子要

以 $\nu = _ { _ - }$ 速度且沿方向运动才能使之保持在一条与导线垂直距离为 $$d$$ 的平行直线上。

查看答案与解析

答案： $v = \lambda/(\varepsilon_0\mu_0 I)$ ；与电流同方向

解析：

电场力 $F_e = qE = q\lambda/(2\pi\varepsilon_0 d)$ （排斥）。

磁场力 $F_m = qvB = qv\mu_0 I/(2\pi d)$ （吸引，当 $$v$$ 与 $$I$$ 同向）。

平衡： $q\lambda/(2\pi\varepsilon_0 d) = qv\mu_0 I/(2\pi d)$ → $v = \lambda/(\varepsilon_0\mu_0 I)$ 。

难度: ⭐⭐⭐
考点: #洛伦兹力 #电场力 #平衡

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📖 相关公式与知识点:

电场力： $F_e = qE = q\lambda/(2\pi\varepsilon_0 d)$ （排斥，同号）
磁场力（洛伦兹力）： $F_m = qvB = qv\mu_0 I/(2\pi d)$
$$v$$ 与 $$I$$ 同向时磁场力为吸引力
平衡条件： $$F_e = F_m$$

思路分析

电场力使粒子远离导线（排斥）
磁场力使粒子靠近导线（吸引，需 $$v$$ 与 $$I$$ 同向）
两力平衡求 $$v$$
$v = \lambda/(\varepsilon_0\mu_0 I)$

易错点

洛伦兹力方向由右手定则判断
$$v$$ 必须与 $$I$$ 同向才能使磁场力为吸引力

🔄 举一反三

若 $\lambda < 0$ ， $$v$$ 方向？
查看练习答案与解析
答案：与电流反方向
解析：
- 第一步： $\lambda < 0$ 时电场力为吸引力
- 第二步：需要磁场力为排斥力
- 第三步： $$v$$ 与 $$I$$ 反向时洛伦兹力为排斥力
若粒子带负电， $$v$$ 方向？
查看练习答案与解析
答案：与电流反方向
解析：负电荷受电场力吸引，需磁场力排斥， $$v$$ 与 $$I$$ 反向。

6.（3分）如图所示，两个共面的平面带电圆环，其内外半径分别为 $R _ { 1 }$ 、 $R _ { 2 }$ 和 $R _ { 3 }$ 、 $R _ { 4 }$ ，外圆环以每秒钟 $n _ { 2 }$ 转顺时针转动，内圆环以每秒钟 $n _ { 1 }$ 转逆时针转动，若两圆环电荷面密度均为 $\sigma$ ，则 $n _ { 1 } / n _ { 2 }$ 为时，圆心O 处的磁感应强度为零。

查看答案与解析

答案： $$n_1/n_2 = (R_4 - R_3)/(R_2 - R_1)$$

解析：

旋转带电圆环等效为圆电流。 $I = \sigma \cdot 2\pi r dr \cdot n$ 。

$dB = \mu_0 dI/(2r) = \mu_0 \sigma \pi n dr$ 。

$B = \mu_0 \sigma \pi n (R_{\text{外}} - R_{\text{内}})$ 。

$$B_1 = B_2$$ → $$n_1(R_2 - R_1) = n_2(R_4 - R_3)$$ 。

难度: ⭐⭐⭐
考点: #磁感应强度 #旋转带电体

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📖 相关公式与知识点:

旋转带电圆环等效圆电流： $dI = \sigma \cdot 2\pi r\,dr \cdot n$
圆电流中心磁场： $dB = \mu_0 dI/(2r) = \mu_0\sigma\pi n\,dr$
积分： $B = \mu_0\sigma\pi n(R_{\text{外}} - R_{\text{内}})$
两环磁场方向相反时 $$B_1 = B_2$$

思路分析

将圆环分解为许多细圆环
每个细圆环等效为圆电流
积分求总磁场
令两环磁场等大反向

易错点

$dB = \mu_0 dI/(2r)$ 中 $$r$$ 被约掉
转动方向决定磁场方向

🔄 举一反三

若两环同向转动，中心 $$B$$ 为零的条件？
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答案：不可能为零（同向叠加）
解析：
- 第一步：同向转动产生同向磁场
- 第二步： $$B_1 + B_2 > 0$$
- 第三步：无法为零
若两环面积相同， $$n_1/n_2$$ 为？
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答案： $$n_1/n_2 = 1$$
解析：面积相同 → $$R_2 - R_1 = R_4 - R_3$$ ， $$n_1 = n_2$$ 。

7.（3分）一长螺线管单位长度密绕 $$n$$ 匝线圈，在其内部轴线上有

一面积为 $$S$$ 的单匝小平面线圈，小线圈平面法向与螺线管轴向夹角 $3 0 ^ { \circ }$ ，它们之间的互感系数为 _；如果螺线管和小线圈均通过电流 $$I$$ ，则小线圈受到的磁力矩大小为。

查看答案与解析

答案： $M = \mu_0 n S \cos 30^\circ$ ； $M_{\text{矩}} = \mu_0 n S I^2 \sin 30^\circ$

解析：

螺线管 $B = \mu_0 n I_1$ 。通过小线圈 $\Phi = BS\cos 30^\circ = \mu_0 n I_1 S \cos 30^\circ$ 。

$M = \Phi/I_1 = \mu_0 n S \cos 30^\circ$ 。

磁力矩 $\vec{M} = \vec{m} \times \vec{B}$ ， $$m = IS$$ ， $M_{\text{矩}} = ISB\sin 30^\circ = \mu_0 n S I^2 \sin 30^\circ$ 。

难度: ⭐⭐
考点: #互感 #磁力矩

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📖 相关公式与知识点:

互感系数： $M = \Phi/I_1$
螺线管磁场： $B = \mu_0 n I_1$
磁通量： $\Phi = BS\cos\theta$ （ $\theta$ 为法向与 $$B$$ 的夹角）
磁力矩： $\vec{M}_{\text{矩}} = \vec{m} \times \vec{B}$ ， $$m = I_2 S$$

思路分析

螺线管产生 $B = \mu_0 n I_1$
通过小线圈 $\Phi = BS\cos 30^\circ$
$M = \Phi/I_1 = \mu_0 n S\cos 30^\circ$
磁力矩 $= ISB\sin 30^\circ$

易错点

互感系数中 $\cos 30^\circ$ ，磁力矩中 $\sin 30^\circ$
法向与 $$B$$ 夹角 $\theta$ ： $\Phi \propto \cos\theta$ ， $M_{\text{矩}} \propto \sin\theta$

🔄 举一反三

法向与轴向平行时互感系数？
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答案： $M = \mu_0 n S$
解析：
- 第一步： $\theta = 0$ ， $\cos\theta = 1$
- 第二步： $\Phi = BS = \mu_0 n I_1 S$
- 第三步： $M = \mu_0 n S$
法向与轴向垂直时磁力矩？
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答案： $M_{\text{矩}} = \mu_0 n S I^2$ （最大值）
解析： $\theta = 90^\circ$ ， $\sin\theta = 1$ ， $M_{\text{矩}} = ISB = \mu_0 n S I^2$ 。

8.（3分）两个点电荷在真空中相距为 $r _ { 1 }$ 时的相互作用力等于它们在某一"无限大"各向同性均匀电介质中相距为 $r _ { 2 }$ 时的相互作用力，则该电介质的相对介电常量 $\varepsilon _ { r } = _ { _ - }$ 0

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答案： $\varepsilon_r = (r_2/r_1)^2$

解析：

真空： $F_1 = q_1q_2/(4\pi\varepsilon_0 r_1^2)$ 。

介质： $F_2 = q_1q_2/(4\pi\varepsilon_r\varepsilon_0 r_2^2)$ 。

$$F_1 = F_2$$ → $1/r_1^2 = 1/(\varepsilon_r r_2^2)$ → $\varepsilon_r = (r_2/r_1)^2$ 。

难度: ⭐
考点: #库仑定律 #电介质

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📖 相关公式与知识点:

库仑定律（真空）： $F = q_1q_2/(4\pi\varepsilon_0 r^2)$
库仑定律（介质）： $F = q_1q_2/(4\pi\varepsilon_r\varepsilon_0 r^2)$
介质使力减小 $\varepsilon_r$ 倍
$$F_1 = F_2$$ → $1/r_1^2 = 1/(\varepsilon_r r_2^2)$

思路分析

真空中力 $F_1 \propto 1/r_1^2$
介质中力 $F_2 \propto 1/(\varepsilon_r r_2^2)$
令 $$F_1 = F_2$$ ，解 $\varepsilon_r$

易错点

$\varepsilon_r = (r_2/r_1)^2$ ，不是 $$r_2/r_1$$
介质总是使库仑力减小

🔄 举一反三

若 $$r_1 = r_2$$ ， $\varepsilon_r$ 为？
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答案： $\varepsilon_r = 1$ （真空）
解析：
- 第一步： $$r_1 = r_2$$ 时 $$F_1 = F_2$$
- 第二步： $\varepsilon_r = 1$
- 第三步：即无介质
若 $\varepsilon_r = 4$ ， $$r_2/r_1$$ 为？
查看练习答案与解析
答案： $$r_2/r_1 = 2$$
解析： $\varepsilon_r = (r_2/r_1)^2 = 4$ → $$r_2/r_1 = 2$$ 。

（3 分）电容为 $C _ { 0 }$ 的平板电容器，接在电路中，如图所示。若将相对介电常量为 $\varepsilon _ { r }$ 的各向同性均匀电介质插入电容器中(填满空间)，此时电场能量是原来的倍。

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答案： $\varepsilon_r$

解析：

接在电路中 $$U$$ 不变。 $C = \varepsilon_r C_0$ ， $W = CU^2/2 = \varepsilon_r C_0 U^2/2 = \varepsilon_r W_0$ 。

难度: ⭐
考点: #电容器 #电场能量

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📖 相关公式与知识点:

接电路： $$U$$ 不变， $C' = \varepsilon_r C_0$
$$W = CU^2/2$$ → $W' = \varepsilon_r W_0$
断开电源： $$Q$$ 不变， $W' = W_0/\varepsilon_r$
接电路时能量增大，断开时能量减小

思路分析

接在电路中 → $$U$$ 不变
$C = \varepsilon_r C_0$
$W = CU^2/2 = \varepsilon_r C_0 U^2/2 = \varepsilon_r W_0$

易错点

接电路和断开电源情况完全不同
接电路时电源做功提供额外能量

🔄 举一反三

断开电源后插入介质，能量变化？
查看练习答案与解析
答案： $W = W_0/\varepsilon_r$
解析：
- 第一步：断开电源 → $$Q$$ 不变
- 第二步： $C' = \varepsilon_r C_0$
- 第三步： $W' = Q^2/(2C') = W_0/\varepsilon_r$
接电路时电源做功多少？
查看练习答案与解析
答案： $W_{\text{电源}} = (\varepsilon_r - 1)C_0 U^2$
解析： $\Delta W = (\varepsilon_r - 1)W_0$ ，电源做功 $= \Delta Q \cdot U = (\varepsilon_r - 1)C_0 U^2$ 。

10.（3分）带电粒子穿过过饱和蒸汽时，在它走过的路径上，

过饱和蒸汽便凝结成小液滴，从而显示出粒子的运动轨迹，这就是云室的原理。今在云室中有磁感强度大小为1T 的均匀磁场，观测到一个质子的径迹是半径 $2 0 \mathrm { c m }$ 的圆弧，该质子的动能为 J。

查看答案与解析

答案： $E_k = 3.07 \times 10^{-13}\ \mathrm{J}$

解析：

$$R = mv/(qB)$$ → $$v = qBR/m$$ 。

$E_k = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{(qBR)^2}{2m} = \frac{(1.6\times10^{-19} \times 1 \times 0.2)^2}{2 \times 1.67\times10^{-27}} = 3.07 \times 10^{-13}\ \mathrm{J}$ 。

难度: ⭐⭐
考点: #洛伦兹力 #动能

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📖 相关公式与知识点:

洛伦兹力提供向心力： $$qvB = mv^2/R$$ → $$v = qBR/m$$
动能： $$E_k = mv^2/2 = (qBR)^2/(2m)$$
质子质量 $m_p = 1.67 \times 10^{-27}\ \mathrm{kg}$
质子电荷 $e = 1.6 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}$

思路分析

由圆弧半径求速度 $$v = qBR/m$$
代入动能公式 $$E_k = mv^2/2$$
代入数值计算

易错点

$$R = mv/(qB)$$ ，不是 $$R = qv/(mB)$$
注意单位换算： $20\ \mathrm{cm} = 0.2\ \mathrm{m}$

🔄 举一反三

电子在同样磁场中相同半径，动能？
查看练习答案与解析
答案： $E_k = 5.62 \times 10^{-16}\ \mathrm{J}$ （电子质量更小，动能更小）
解析：
- 第一步： $$E_k = (eBR)^2/(2m_e)$$
- 第二步： $m_e \ll m_p$ → $$E_k$$ 更小
- 第三步： $E_k = (1.6\times10^{-19} \times 1 \times 0.2)^2/(2 \times 9.11\times10^{-31})$
磁场增大，圆弧半径如何变化？
查看练习答案与解析
答案：半径减小
解析： $$R = mv/(qB)$$ ， $$B$$ 增大 → $$R$$ 减小。

（3 分）真空中两只长直螺线管1和2，长度相等，单层密绕匝数相同，直径之比 $d _ { 1 } / d _ { 2 } { = } 1 / 4$ 。当它们通以相同电流时，两螺线管贮存的磁能之比 $W _ { 1 } / W _ { 2 } { = } \atop { - }$ 。

查看答案与解析

答案： $$W_1/W_2 = 1/16$$

解析：

$L = \mu_0 n^2 V = \mu_0 n^2 l \cdot \pi d^2/4$ 。

$W = LI^2/2 \propto d^2$ 。

$$W_1/W_2 = (d_1/d_2)^2 = 1/16$$ 。

难度: ⭐⭐
考点: #自感 #磁能

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📖 相关公式与知识点:

螺线管自感： $L = \mu_0 n^2 V = \mu_0 n^2 l \cdot \pi d^2/4$
磁能： $W = LI^2/2 \propto L \propto d^2$
匝数相同、长度相同、电流相同
$$W_1/W_2 = (d_1/d_2)^2 = 1/16$$

思路分析

$L \propto V \propto d^2$
$W = LI^2/2 \propto d^2$
$$W_1/W_2 = (d_1/d_2)^2 = (1/4)^2 = 1/16$$

易错点

$W \propto d^2$ ，不是 $W \propto d$
体积与直径的平方成正比

🔄 举一反三

若匝数不同， $$W$$ 与 $$n$$ 的关系？
查看练习答案与解析
答案： $W \propto n^2$
解析：
- 第一步： $L = \mu_0 n^2 V$
- 第二步： $W = LI^2/2 \propto n^2$
- 第三步：匝数增大 2 倍，磁能增大 4 倍
若电流不同， $$W$$ 与 $$I$$ 的关系？
查看练习答案与解析
答案： $W \propto I^2$
解析： $W = LI^2/2 \propto I^2$ 。

二、选择题（共 15 分，单选，每题 3 分，将答案写在试卷上指定的方括号“［］”内）

1.（3 分）如图所示，三块平行的薄导体板，相互之间的距离 $d _ { 1 }$ 和 $d _ { 2 }$ 比导体板面积线度小得多，外面二导体板用导线连接。中间导体板带电，设左右两面上电荷面密度分别为 $\sigma _ { 1 }$ 和 $\sigma _ { 2 }$ 。则 $\sigma _ { 1 } / \sigma _ { 2 }$ 为

(A) d1/d2；

(B) d2/d1；

$\mathrm { ( D ) } d _ { 2 } ^ { 2 } / d _ { 1 } ^ { 2 }$

［］

查看答案与解析

答案：B

解析：

外面两板等势，中间板与左板间 $U = E_1 d_1 = \sigma_1 d_1/\varepsilon_0$ ，与右板间 $U = E_2 d_2 = \sigma_2 d_2/\varepsilon_0$ 。

$\sigma_1 d_1 = \sigma_2 d_2$ → $\sigma_1/\sigma_2 = d_2/d_1$ 。

难度: ⭐⭐
考点: #导体 #电荷分布

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📖 相关公式与知识点:

导体板间电场： $E = \sigma/\varepsilon_0$
电势差： $U = Ed = \sigma d/\varepsilon_0$
外面两板等势（导线连接）→ $$U_1 = U_2$$
$\sigma_1 d_1 = \sigma_2 d_2$ → $\sigma_1/\sigma_2 = d_2/d_1$

思路分析

外面两板用导线连接 → 等势
中间板与左板间 $U_1 = \sigma_1 d_1/\varepsilon_0$
中间板与右板间 $U_2 = \sigma_2 d_2/\varepsilon_0$
$$U_1 = U_2$$ → $\sigma_1/\sigma_2 = d_2/d_1$

易错点

等势条件是解题关键
$\sigma$ 与 $$d$$ 成反比，不是正比

🔄 举一反三

若 $$d_1 = d_2$$ ， $\sigma_1/\sigma_2$ 为？
查看练习答案与解析
答案： $$1$$
解析：
- 第一步： $$d_1 = d_2$$ ， $$U_1 = U_2$$
- 第二步： $\sigma_1 d_1 = \sigma_2 d_2$
- 第三步： $\sigma_1 = \sigma_2$
若外面两板不连接， $\sigma_1/\sigma_2$ 为？
查看练习答案与解析
答案： $\sigma_1/\sigma_2 = 1$ （中间板电荷守恒）
解析：中间板总电荷不变，左右面电荷等大（对称）， $\sigma_1 = \sigma_2$ 。

2.（3分）图（a）、（b）、（c）中除导体棒可动外，其余部分均固定，不计摩擦，导体棒、

导轨和直流电源的电阻均可略，各装置都在水平面内，匀强磁场 B 的方向垂直纸面向里。设导体棒的初始速度为v0。有可能在一直向右运动过程

（b）

中最终达到匀速（不包括静止）状态的是

(A) 图（a）；

(B) 图（b）；

(D) 都不可能。

［］

查看答案与解析

答案：C

解析：

(a) 无电源，感应电流使棒减速至静止。

(b) 电源提供恒定电流，安培力恒定，棒匀加速，不匀速。

难度: ⭐⭐
考点: #电磁感应 #安培力

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📖 相关公式与知识点:

感应电动势： $\mathcal{E} = Blv$
安培力： $$F = BIl$$
(a) 无电源：感应电流使棒减速至静止
(b) 恒定电流：安培力恒定，匀加速
(c) 电源+感应： $\mathcal{E}_{\text{总}} = \mathcal{E}_{\text{电源}} - Blv$

思路分析

(a) 无电源，棒减速，感应电流减小，最终静止
(b) 电源提供恒定电流， $$F = BIl$$ 恒定，匀加速
(c) 当 $Blv = \mathcal{E}_{\text{电源}}$ 时 $$I = 0$$ ， $$F = 0$$ ，匀速

易错点

(c) 中匀速条件是感应电动势等于电源电动势
(b) 中电流恒定，不是感应电流

🔄 举一反三

(c) 中匀速速度表达式？
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答案： $v = \mathcal{E}_{\text{电源}}/(Bl)$
解析：
- 第一步：匀速条件 $$I = 0$$
- 第二步： $\mathcal{E}_{\text{电源}} = Blv$
- 第三步： $v = \mathcal{E}_{\text{电源}}/(Bl)$
(a) 中棒运动距离与初速度关系？
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答案： $s \propto v_0$ （距离与初速度成正比）
解析： $$F = -B^2l^2v/R$$ ，运动方程 $m\dot{v} = -B^2l^2v/R$ ，解得 $$s = mv_0 R/(B^2l^2)$$ 。

3.（3分）一球形电容器中间充有均匀介质，该介质缓慢漏电，在漏电过程中，传导电流产生的磁场为 $\pmb { B } _ { \mathrm { c } }$ ，位移电流产生的磁场为 $\pmb { B } _ { \mathrm { d } }$ ，则

(A) $\pmb { B } _ { \mathrm { c } } \neq 0$ ， $\pmb { B } \mathrm { d } ^ { = } 0$

(B) $\pmb { B } \mathrm { c } ^ { = } 0$ ， $\pmb { B } _ { \mathrm { d } } \varkappa 0$

(D) $\pmb { B } _ { \mathrm { c } } { = } \pmb { B } _ { \mathrm { d } } { \neq } 0$ 。

［］

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答案：D

解析：

全电流 $I_{\text{全}} = I_c + I_d$ 。漏电过程中 $I_c \neq 0$ ， $I_d \neq 0$ ，且 $$I_c = I_d$$ （全电流连续）。

$B_c = B_d \neq 0$ 。

难度: ⭐⭐
考点: #位移电流 #全电流

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📖 相关公式与知识点:

传导电流： $$I_c$$ （电荷实际运动）
位移电流： $I_d = \varepsilon_0 d\Phi_E/dt$ （电场变化）
全电流连续： $$I_c = I_d$$ （漏电过程中）
$B_c = \mu_0 I_c/(2\pi r)$ ， $B_d = \mu_0 I_d/(2\pi r)$

思路分析

漏电过程中 $I_c \neq 0$ （传导电流）
电场随时间变化 $dE/dt \neq 0$ → $I_d \neq 0$
全电流连续 $$I_c = I_d$$
$B_c = B_d \neq 0$

易错点

漏电过程中传导电流和位移电流同时存在
全电流连续要求 $$I_c = I_d$$

🔄 举一反三

稳定状态下 $$B_c$$ 和 $$B_d$$ 关系？
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答案： $B_c \neq 0$ ， $$B_d = 0$$
解析：
- 第一步：稳定状态 $$dE/dt = 0$$
- 第二步： $$I_d = 0$$ → $$B_d = 0$$
- 第三步： $I_c \neq 0$ → $B_c \neq 0$
充电过程中 $$B_c$$ 和 $$B_d$$ 关系？
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答案： $$B_c = 0$$ ， $B_d \neq 0$ （理想电容器内部无传导电流）
解析：电容器内部只有位移电流，无传导电流。

两个同心圆线圈，大圆半径为 $$R$$ ，通有电流 $I _ { 1 }$ ；小圆半径为 $$r$$ ，通有电流 $I _ { 2 }$ ，如图。若 $$r < < R$$ (大线圈在小线圈处产生的磁场近似为均匀磁场)，当它们处在同一平面内时小线圈所受磁力矩的大小为［］

(A) I I r 2μ0 π 1 2 ${ \frac { \mu _ { \scriptscriptstyle 0 } \pi I _ { \scriptscriptstyle 1 } I _ { \scriptscriptstyle 2 } r ^ { 2 } } { 2 R } } ;$

(B) I I r 2μ0 1 2 ${ \frac { \mu _ { 0 } I _ { 1 } I _ { 2 } r ^ { 2 } } { 2 R } } ;$

(D) 0 。

查看答案与解析

答案：D

解析：

大线圈在圆心处 $B = \mu_0 I_1/(2R)$ ，方向垂直纸面。

小线圈磁矩 $\vec{m} = I_2 \pi r^2 \hat{n}$ ，也在垂直方向。

$\vec{M} = \vec{m} \times \vec{B} = 0$ （平行）。

难度: ⭐⭐
考点: #磁力矩 #磁矩

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📖 相关公式与知识点:

磁力矩： $\vec{M} = \vec{m} \times \vec{B}$
磁矩： $\vec{m} = I_2 \pi r^2 \hat{n}$
大线圈圆心处： $B = \mu_0 I_1/(2R)$
同平面时 $\vec{m} \parallel \vec{B}$ → $\vec{M} = 0$

思路分析

大线圈在圆心处产生 $$B$$ ，方向垂直纸面
小线圈磁矩方向也垂直纸面（同平面）
$\vec{m} \times \vec{B} = 0$ （平行）
磁力矩为零

易错点

同平面时 $\vec{m}$ 与 $\vec{B}$ 平行，不是垂直
磁力矩为零不代表不受力

🔄 举一反三

小线圈平面垂直于大线圈平面，磁力矩？
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答案： $M = \mu_0 \pi I_1 I_2 r^2/(2R)$
解析：
- 第一步：垂直时 $\vec{m} \perp \vec{B}$
- 第二步： $M = mB = I_2 \pi r^2 \cdot \mu_0 I_1/(2R)$
- 第三步： $M = \mu_0 \pi I_1 I_2 r^2/(2R)$
小线圈转过 $60^\circ$ ，磁力矩？
查看练习答案与解析
答案： $M = \mu_0 \pi I_1 I_2 r^2 \sin 60^\circ/(2R)$
解析： $M = mB\sin\theta = I_2\pi r^2 \cdot \mu_0 I_1/(2R) \cdot \sin 60^\circ$ 。

如图，一导体棒 $$a b$$ 在均匀磁场中沿金属导轨向右作匀速运动，磁场方向垂直导轨所在平面。若导轨电阻忽略不计，并设铁芯磁导率为常数，则达到稳定后在电容器的 $$M$$ 极板上［］

(A) 带有一定量的正电荷；

(B) 带有一定量的负电荷；

(D) 带有越来越多的负电荷。

查看答案与解析

答案：B

解析：

棒匀速运动，感应电动势恒定。左侧线圈产生恒定磁场，右侧线圈感应出恒定电动势。

电容器充电至稳定后电荷不变。根据楞次定律， $$M$$ 极板带负电。

难度: ⭐⭐
考点: #电磁感应 #电容器

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📖 相关公式与知识点:

感应电动势： $\mathcal{E} = Blv$
匀速运动 → $\mathcal{E}$ 恒定
左侧线圈：恒定电流 → 恒定磁场
右侧线圈：恒定磁场 → 无感应电动势
电容器充电至稳定后电荷不变

思路分析

棒匀速运动 → 感应电动势恒定
左侧线圈产生恒定磁场
右侧线圈无感应电动势（磁场不变）
电容器充至稳定， $$M$$ 极板带负电

易错点

恒定磁场不产生感应电动势
楞次定律判断 $$M$$ 极板极性

🔄 举一反三

棒加速运动， $$M$$ 极板电荷如何变化？
查看练习答案与解析
答案：电荷越来越多
解析：
- 第一步：加速 → $\mathcal{E}$ 增大
- 第二步：左侧磁场增强
- 第三步：右侧持续感应充电
棒减速运动， $$M$$ 极板电荷如何变化？
查看练习答案与解析
答案：先充电后放电
解析：减速 → 磁场减弱 → 反向感应 → 电容器先充电后放电。

三、计算题（共 52分，将答案写在试卷空白处）

1.（9分）如图所示，有一半径为 $$R$$ 的金属球，外面包有一层相对介电常数 $\varepsilon { \mathrm { r } } { = } 2$ 的均匀电介质壳，壳内、外半径分别为 $$R$$ 和 $$2 R$$ ，介质内均匀分布着电量为 $q _ { 0 }$ 的自由电荷，金属球接地。试求：

（1）金属球所带电量？

（2）介质壳外表面的电势？（设无穷远电势为零）

查看答案与解析

答案：(1) $$q = -q_0/2$$ ；(2) $U = q_0/(24\pi\varepsilon_0 R)$

解析：

(1) 介质内 $D = q_0 r/(4\pi r^3)$ （ $$R < r < 2R$$ ）， $E = D/(\varepsilon_r\varepsilon_0)$ 。

金属球接地 $U_{\text{球}} = 0$ 。

$U_{\text{球}} = \int_R^{2R} E dr + \frac{q+q_0}{4\pi\varepsilon_0 \cdot 2R} = 0$ 。

$\int_R^{2R} \frac{q_0}{4\pi\varepsilon_r\varepsilon_0 r^2} dr = \frac{q_0}{8\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{R} - \frac{1}{2R}\right) = \frac{q_0}{16\pi\varepsilon_0 R}$ 。

$\frac{q_0}{16\pi\varepsilon_0 R} + \frac{q+q_0}{8\pi\varepsilon_0 R} = 0$ → $$q = -q_0/2$$ 。

(2) $U_{\text{外}} = \frac{q+q_0}{4\pi\varepsilon_0 \cdot 2R} = \frac{q_0/2}{8\pi\varepsilon_0 R} = \frac{q_0}{16\pi\varepsilon_0 R}$ 。

难度: ⭐⭐⭐
考点: #电介质 #高斯定理 #电势

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📖 相关公式与知识点:

电位移矢量： $D = q_0/(4\pi r^2)$ （介质内， $$R < r < 2R$$ ）
电场强度： $E = D/(\varepsilon_r\varepsilon_0)$
接地条件： $U_{\text{球}} = 0$
电势叠加： $U = \int_R^{2R} E\,dr + (q+q_0)/(4\pi\varepsilon_0 \cdot 2R)$

思路分析

由高斯定理求介质内 $$D$$ 和 $$E$$
金属球接地 → $U_{\text{球}} = 0$
从球面到无穷远积分电势为零
解出金属球电量 $$q$$

易错点

接地时球上电荷不为零
介质内 $E = D/(\varepsilon_r\varepsilon_0)$ ，不是 $D/\varepsilon_0$
介质外 $E = (q+q_0)/(4\pi\varepsilon_0 r^2)$

🔄 举一反三

金属球不接地，球上电荷？
查看练习答案与解析
答案： $$q = 0$$ （静电平衡）
解析：
- 第一步：不接地时金属球内部无自由电荷
- 第二步：静电平衡时球内 $$E = 0$$
- 第三步：球上无感应电荷， $$q = 0$$
若 $\varepsilon_r = 1$ （无介质）， $$q$$ 为？
查看练习答案与解析
答案： $$q = -q_0$$
解析： $U = \int_R^{2R} \frac{q_0}{4\pi\varepsilon_0 r^2}dr + \frac{q+q_0}{8\pi\varepsilon_0 R} = \frac{q_0}{8\pi\varepsilon_0 R} + \frac{q+q_0}{8\pi\varepsilon_0 R} = 0$ → $$q = -q_0$$ 。

2.（9分）如图所示，两根相互绝缘的无限长直导线 1和2绞接与O点，两根相互绝缘导线间的夹角为θ，并通有相同电流I，方向如图。试求

单位长度的导线所受磁力对O点的力矩。

查看答案与解析

答案： $M = \frac{\mu_0 I^2}{2\pi\theta}\ln\frac{r_2}{r_1}$ （方向垂直纸面向里）

解析：

导线1在导线2上 $$r$$ 处产生 $B = \mu_0 I/(2\pi r \sin\theta)$ 。

$dF = I_2 dl \times B$ ， $$dM = r dF$$ 。

积分得 $M = \frac{\mu_0 I^2}{2\pi\theta}\ln\frac{r_2}{r_1}$ 。

难度: ⭐⭐⭐
考点: #安培力 #力矩

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📖 相关公式与知识点:

安培力： $d\vec{F} = I_2 d\vec{l} \times \vec{B}$
导线1在导线2上 $$r$$ 处的磁场： $B = \mu_0 I_1/(2\pi r \sin\theta)$
力矩： $dM = r\,dF$
积分： $M = \int_{r_1}^{r_2} r \cdot I_2 dr \cdot B$

思路分析

导线1在导线2各点产生不同 $$B$$
微元受力 $dF = I_2 B\,dr$
微元力矩 $dM = r\,dF$
沿导线2积分求总力矩

易错点

$$B$$ 的方向需用右手定则判断
$\sin\theta$ 来自导线夹角
力矩方向垂直于导线所在平面

🔄 举一反三

两导线平行时力矩？
查看练习答案与解析
答案： $$M = 0$$ （力沿连线方向）
解析：
- 第一步：平行时安培力沿连线方向
- 第二步：力臂为零
- 第三步： $$M = 0$$
若 $\theta = 90^\circ$ （垂直），力矩？
查看练习答案与解析
答案： $M = \frac{\mu_0 I^2}{2\pi}\ln\frac{r_2}{r_1}$
解析： $\theta = 90^\circ$ 时 $\sin\theta = 1$ ， $M = \int_{r_1}^{r_2} \frac{\mu_0 I^2}{2\pi r}dr = \frac{\mu_0 I^2}{2\pi}\ln\frac{r_2}{r_1}$ 。

（10 分）如图所示，半径为 $$R$$ 的均匀带电球面，电量为 $$q$$ ，沿半径方向上有一均匀带电细线，电荷线密度为λ，长度为 l，细线左端离球心距离为 $r _ { 0 }$ 。设球面和细线上的电荷分布不受相互作用影响，试求：

（1）细线受到该带电球面作用的电场力；
（2）细线在该带电球面电场中的电势能(选取无穷远处的电势为零)。

查看答案与解析

答案：(1) $F = \frac{q\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{r_0} - \frac{1}{r_0+l}\right)$ ，方向沿径向向外；(2) $W = \frac{q\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\ln\frac{r_0+l}{r_0}$

解析：

(1) 球面外 $E = q/(4\pi\varepsilon_0 r^2)$ 。 $dF = E \cdot \lambda dr$ 。

$F = \int_{r_0}^{r_0+l} \frac{q\lambda}{4\pi\varepsilon_0 r^2} dr = \frac{q\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{r_0} - \frac{1}{r_0+l}\right)$ 。

(2) $U = q/(4\pi\varepsilon_0 r)$ 。 $dW = U \cdot \lambda dr$ 。

$W = \int_{r_0}^{r_0+l} \frac{q\lambda}{4\pi\varepsilon_0 r} dr = \frac{q\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\ln\frac{r_0+l}{r_0}$ 。

难度: ⭐⭐
考点: #电场力 #电势能 #积分

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📖 相关公式与知识点:

球面外电场： $E = q/(4\pi\varepsilon_0 r^2)$ （等效点电荷）
微元受力： $dF = E \cdot \lambda\,dr$
电势： $U = q/(4\pi\varepsilon_0 r)$
微元电势能： $dW = U \cdot \lambda\,dr$

思路分析

球面外 $$E$$ 和 $$U$$ 与点电荷相同
力： $F = \int_{r_0}^{r_0+l} \frac{q\lambda}{4\pi\varepsilon_0 r^2}dr$
电势能： $W = \int_{r_0}^{r_0+l} \frac{q\lambda}{4\pi\varepsilon_0 r}dr$
力的结果含差，能的结果含 $\ln$

易错点

球面内部 $$E = 0$$ ， $$U$$ 恒定
力与 $$1/r^2$$ 积分得差，能与 $$1/r$$ 积分得 $\ln$
电势能参考点为无穷远

🔄 举一反三

细线在球面内部，受力？
查看练习答案与解析
答案： $$F = 0$$ （球面内部 $$E = 0$$ ）
解析：
- 第一步：球面内部 $$E = 0$$
- 第二步：细线各微元不受力
- 第三步： $$F = 0$$
若细线穿过球面（部分在内部分在外部），受力？
查看练习答案与解析
答案： $F = \frac{q\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{R} - \frac{1}{r_0+l}\right)$
解析：内部不受力，仅外部部分受力，积分从 $$R$$ 到 $$r_0+l$$ 。

4.（10分）如图所示，半径 $R { = } 1 . 0 \mathrm { c m }$ 的无限长1/4 圆柱形金属薄片中，沿长度方向有均匀分布的电流 $I { = } 1 0 . 0 \mathrm { A }$ 通过。试求圆柱轴线上任意一点的磁感应强度。

查看答案与解析

答案： $B = \frac{2\sqrt{2}\mu_0 I}{\pi^2 R} = 1.8 \times 10^{-4}\ \mathrm{T}$ ，方向与 $$x$$ 轴成 $45^\circ$

解析：

面电流密度 $j = I/(\pi R/2) = 2I/(\pi R)$ 。

$dB = \mu_0 j R d\theta/(2\pi R) = \mu_0 j d\theta/(2\pi)$ 。

$dB_x = dB\cos\theta$ ， $dB_y = dB\sin\theta$ 。

$B_x = \int_0^{\pi/2} \frac{\mu_0 j}{2\pi}\cos\theta d\theta = \frac{\mu_0 j}{2\pi}$ 。

$B_y = \frac{\mu_0 j}{2\pi}$ 。

$B = \sqrt{B_x^2 + B_y^2} = \frac{\sqrt{2}\mu_0 j}{2\pi} = \frac{\sqrt{2}\mu_0 I}{\pi^2 R}$ 。

难度: ⭐⭐⭐
考点: #毕奥-萨伐尔定律 #磁感应强度

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

面电流密度： $j = I/(\pi R/2) = 2I/(\pi R)$
微元电流： $dI = j R\,d\theta$
毕奥-萨伐尔定律： $dB = \mu_0 dI/(2\pi R)$
分量积分： $B_x = \int dB\cos\theta$ ， $B_y = \int dB\sin\theta$

思路分析

将 1/4 圆柱面分解为许多细电流条
每条在轴线产生 $$dB$$
分别积分 $$x$$ 和 $$y$$ 分量
$B_x = B_y = \mu_0 j/(2\pi)$ → $B = \sqrt{2}\mu_0 j/(2\pi)$

易错点

面电流密度 $$j$$ 不是体电流密度
1/4 圆柱面弧长为 $\pi R/2$
$$B$$ 的方向与 $$x$$ 轴成 $45^\circ$

🔄 举一反三

完整圆柱面轴线上的 $$B$$ ？
查看练习答案与解析
答案： $$B = 0$$ （对称性）
解析：
- 第一步：完整圆柱面对称
- 第二步：每对对称微元磁场抵消
- 第三步： $$B = 0$$
半圆柱面（1/2）轴线上的 $$B$$ ？
查看练习答案与解析
答案： $B = \mu_0 j/\pi$ （沿对称轴方向）
解析： $$B_x = 0$$ （对称）， $B_y = 2 \times \mu_0 j/(2\pi) = \mu_0 j/\pi$ 。

5.（7分）如图所示，通有电流 $$I$$ 的无限长直导线与一宽为 $$a$$ 的电流均匀分布的无限长矩形薄平板构成闭合回路，且彼此平行共面。试求：

（1）P点处磁感应强度的大小和方向；
（2）单位长度导线所受作用力大小。

查看答案与解析

答案：(1) $B_P = \frac{\mu_0 I}{2\pi a}\ln\frac{a+d}{d}$ ，方向垂直纸面向里；(2) $F = \frac{\mu_0 I^2}{2\pi a}\ln\frac{a+d}{d}$

解析：

(1) 平板电流线密度 $$j = I/a$$ 。 $dB = \mu_0 j dx/(2\pi x)$ 。

$B_P = \int_d^{d+a} \frac{\mu_0 I}{2\pi a x} dx = \frac{\mu_0 I}{2\pi a}\ln\frac{a+d}{d}$ 。

(2) $F = I B_P = \frac{\mu_0 I^2}{2\pi a}\ln\frac{a+d}{d}$ 。

难度: ⭐⭐
考点: #磁感应强度 #安培力

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📖 相关公式与知识点:

无限长直导线磁场： $B = \mu_0 I/(2\pi r)$
平板电流线密度： $$j = I/a$$
微元磁场： $dB = \mu_0 j\,dx/(2\pi x)$
安培力： $F = I \cdot B_P$

思路分析

将平板分解为许多无限长细条
每条在 $$P$$ 点产生 $$dB$$
从 $$d$$ 到 $$d+a$$ 积分求 $$B_P$$
导线受力 $$F = IB_P$$

易错点

$$P$$ 点在平板外侧，积分限从 $$d$$ 到 $$d+a$$
$$B_P$$ 方向由右手定则判断
导线与平板电流方向相反时力为斥力

🔄 举一反三

若 $d \gg a$ ， $$B_P$$ 近似为？
查看练习答案与解析
答案： $B_P \approx \mu_0 I/(2\pi d)$
解析：
- 第一步： $d \gg a$ 时 $\ln\frac{d+a}{d} \approx a/d$
- 第二步： $B_P \approx \frac{\mu_0 I}{2\pi a} \cdot \frac{a}{d} = \frac{\mu_0 I}{2\pi d}$
- 第三步：等效为线电流
若 $$P$$ 点在平板中心线上， $$B_P$$ 为？
查看练习答案与解析
答案： $B_P = \frac{\mu_0 I}{2\pi a}\ln\frac{a/2+d}{d-a/2}$ （需重新设积分限）
解析：积分限从 $$d-a/2$$ 到 $$d+a/2$$ ， $B_P = \frac{\mu_0 I}{2\pi a}\ln\frac{d+a/2}{d-a/2}$ 。

（7 分）

如图所示，将一均匀分布着电流的无限大载流平面放入均匀外磁场中，电流

方向与此磁场垂直。已知平面两侧的磁感应强度分别为 $\vec { B } _ { 1 }$ 和 $\vec { B } _ { 2 }$ 。试求：

（1）外磁场的磁感应强度 ${ \vec { B } } _ { 0 }$ 的大小和方向；
（2）面电流密度 $\vec { j }$ 的大小和方向；
（3）该载流平面单位面积所受的磁场力的大小和方向。

查看答案与解析

答案：(1) $\vec{B}_0 = (\vec{B}_1 + \vec{B}_2)/2$ ；(2) $j = |B_1 - B_2|/\mu_0$ ，方向由右手定则确定；(3) $f = j B_0 = |B_1^2 - B_2^2|/(2\mu_0)$

解析：

(1) 载流平面产生 $B' = \mu_0 j/2$ ，两侧方向相反。

$$B_1 = B_0 - B'$$ ， $$B_2 = B_0 + B'$$ → $$B_0 = (B_1 + B_2)/2$$ 。

(2) $B' = (B_2 - B_1)/2 = \mu_0 j/2$ → $j = (B_2 - B_1)/\mu_0$ 。

(3) $f = j B_0 = (B_2 - B_1)(B_1 + B_2)/(2\mu_0) = (B_2^2 - B_1^2)/(2\mu_0)$ 。

难度: ⭐⭐⭐
考点: #安培环路定理 #磁场力

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

安培环路定理： $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I$
载流平面产生磁场： $B' = \mu_0 j/2$ （两侧方向相反）
叠加原理： $$B_1 = B_0 - B'$$ ， $$B_2 = B_0 + B'$$
磁场力： $$f = jB_0$$

思路分析

外磁场 $$B_0$$ 与载流平面磁场 $$B'$$ 叠加
两侧磁场不同 → 解出 $$B_0$$ 和 $$j$$
$$B_0 = (B_1 + B_2)/2$$ ， $j = (B_2 - B_1)/\mu_0$
单位面积力 $$f = jB_0$$

易错点

$$B'$$ 两侧方向相反是关键
$$B_1$$ 和 $$B_2$$ 的方向需统一规定
力的方向由 $j \times B_0$ 决定

🔄 举一反三

若 $$B_1 = B_2$$ ，面电流密度？
查看练习答案与解析
答案： $$j = 0$$ （无载流平面）
解析：
- 第一步： $$B_1 = B_2$$ → $$B' = 0$$
- 第二步： $\mu_0 j/2 = 0$
- 第三步： $$j = 0$$
若 $$B_1 = 0$$ ， $$B_0$$ 和 $$j$$ 的关系？
查看练习答案与解析
答案： $$B_0 = B_2/2$$ ， $j = B_2/\mu_0$
解析： $$B_1 = 0$$ → $$B_0 = B'$$ → $$B_0 = B_2/2$$ ， $j = 2B_0/\mu_0 = B_2/\mu_0$ 。

《大学物理AⅡ》期中试卷 (精选02) ​

一、填空题（共33分，每题 3分，将答案写在试卷指定的横线“ _”上） ​

二、选择题（共 15 分，单选，每题 3 分，将答案写在试卷上指定的方括号“［ ］”内） ​

三、计算题（共 52分，将答案写在试卷空白处） ​

《大学物理AⅡ》期中试卷 (精选02)

一、填空题（共33分，每题 3分，将答案写在试卷指定的横线“ _”上）

二、选择题（共 15 分，单选，每题 3 分，将答案写在试卷上指定的方括号“［］”内）

三、计算题（共 52分，将答案写在试卷空白处）